PEÑA VALDEZ
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA PARA MAESTROS
I.-RESUMEN:
Ø Fundamentalmente se propone ofrecer una visión general de la
educación matemática.
Ø Se trata de crear un
espacio de reflexión y estudio sobre las matemáticas, en cuanto objeto de
enseñanza y aprendizaje.
Ø Un elemento fundamental es el currículo; éste es más
que una colección de actividades: debe ser coherente, centrado en unas
matemáticas importantes y bien articuladas a lo largo de los distintos niveles.
Ø Los estudiantes deben aprender matemáticas
comprendiéndolas, construyendo activamente el nuevo conocimiento a partir de la
experiencia y el conocimiento previo.
II.-ASTRA:
Ø Fundamentally Ø aims to provide
an overview of mathematics education.
Ø It is about creating a space for reflection and study of mathematics, as
an object of teaching and learning.
Ø A key element is the curriculum, this
is more than a collection of
activities: it must be coherent, focused on important mathematics
and a well
articulated along different
levels.
Ø Students must learn mathematics understanding them, actively building new knowledge from experience and prior knowledge.
III.-TEMA Y
ARGUMENTO:
DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA PARA MAESTROS
Este trabajo
"Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas para
maestros" nos proponemos ofrecer una visión general de la educación
matemática. Tratamos de crear un espacio de reflexión y estudio sobre las
matemáticas, en cuanto objeto de enseñanza y aprendizaje, y sobre los
instrumentos conceptuales y metodológicos de índole general que la Didáctica de
las Matemáticas está generando como campo de investigación. Deseamos que los
maestros en formación adquieran una visión de la enseñanza de las matemáticas
que contemple:
- Las clases como
comunidades matemáticas, y no como una simple colección de individuos.
- La verificación lógica y
matemática de los resultados, frente a la visión del profesor como única fuente
de respuestas correctas.
- El razonamiento
matemático, más que los procedimientos de simple memorización.
- La formulación de
conjeturas, la invención y la resolución de problemas, descartando el énfasis
en la búsqueda mecánica de respuestas.
- La conexión de las ideas
matemáticas y sus aplicaciones, frente a la visión de las matemáticas como un
cuerpo aislado de conceptos y procedimientos.
Los siguientes principios
de la enseñanza de las matemáticas descritos en los Principios y Estándares
2000 del NCTM2 orientan el contenido de la Monografía:
1. Equidad. La excelencia en la
educación matemática requiere equidad – unas altas expectativas y fuerte apoyo
para todos los estudiantes.
2. Currículo. Un currículo es más que
una colección de actividades: debe ser coherente, centrado en unas matemáticas
importantes y bien articuladas a lo largo de los distintos niveles.
3. Enseñanza. Una enseñanza efectiva de
las matemáticas requiere comprensión de lo que los estudiantes conocen y
necesitan aprender, y por tanto les desafían y apoyan para aprenderlas bien.
4. Aprendizaje. Los estudiantes deben aprender matemáticas comprendiéndolas,
construyendo activamente el nuevo conocimiento a partir de la experiencia y el
conocimiento previo.
5. Evaluación. La evaluación debe apoyar el aprendizaje de unas matemáticas
importantes y proporcionar información útil tanto a los profesores como a los
estudiantes.
6. Tecnología. La tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas; influye en las matemáticas que se enseñan y estimula el
aprendizaje de los estudiantes.
Estos seis principios
describen cuestiones cruciales que, aunque no sean específicas de las
matemáticas escolares, están profundamente interconectadas con los programas de
matemáticas. Deben ser tenidos en cuenta en el desarrollo de propuestas
curriculares, la selección de materiales, a planificación de unidades
didácticas, el diseño de evaluaciones, las decisiones instruccionales en las
clases, y el establecimiento de programas de apoyo para el desarrollo
profesional de los profesores.
El primer capítulo está
centrado en el análisis del propio contenido matemático, con la finalidad de
hacer reflexionar a los maestros en formación sobre sus propias creencias y
actitudes hacia las matemáticas e inducir en ellos una visión constructiva y
sociocultural de las mismas. Tras presentar una síntesis del papel que las
matemáticas desempeñan en la ciencia, la tecnología y en la vida cotidiana
describimos algunos rasgos característicos de las matemáticas, tomando como
referencia las orientaciones del currículo básico de matemáticas propuesto por
el MEC.
Destacamos el carácter
evolutivo del conocimiento matemático, el papel de la resolución de problemas y
la modelización, el razonamiento, lenguaje y comunicación, la estructura lógica
y naturaleza relacional de las matemáticas, así como la dialéctica entre
exactitud y aproximación. En este capítulo también describimos las tres
categorías básicas de contenidos que propone el Diseño Curricular Básico
(conceptos, procedimientos y actitudes), y razonamos que el análisis de la
actividad matemática y de los procesos de enseñanza y aprendizaje en las clases
requiere adoptar un modelo epistemológico más detallado, considerando como
objetos matemáticos las propias situaciones - problemas, el lenguaje, las
propiedades y argumentaciones, además de los conceptos y procedimientos. Junto
a estos objetos matemáticos es necesario tener en cuenta en la organización de
la enseñanza los procesos matemáticos de resolución de problemas,
representación, comunicación, justificación, conexiones e institucionalización.
El segundo capítulo lo dedicamos al estudio de los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas, comenzando con una situación de
contextualización sobre las creencias de los maestros en formación acerca de la
enseñanza y el aprendizaje de nuestra materia. Hemos considerado necesario
iniciar el tema con un breve análisis de las nociones de competencia y
comprensión matemática, esto es, sobre lo que vamos a considerar como
"conocer matemáticas" desde el punto de vista del sujeto que aprende.
No parece posible tomar decisiones educativas apropiadas si no adoptamos
previamente criterios claros sobre lo que vamos a considerar qué es "saber
matemáticas".
Sin privar de importancia a
los enfoques constructivistas en el estudio de las matemáticas consideramos
necesario reconocer explícitamente el papel crucial del profesor en la
organización, dirección y promoción de los aprendizajes de los estudiantes. Una
instrucción matemática significativa debe atribuir un papel clave a la
interacción social, a la cooperación, al discurso del profesor, a la
comunicación, además de a la interacción del sujeto con las
situaciones-problemas. El maestro en formación debe ser consciente de la complejidad
de la tarea de la enseñanza si se desea lograr un aprendizaje matemático
significativo. Será necesario diseñar y gestionar una variedad de tipos de
situaciones didácticas, implementar una variedad de patrones de interacción y
tener en cuenta las normas, con frecuencia implícitas, que regulan y
condicionan la enseñanza y los aprendizajes.
Finalizamos el desarrollo
de los conocimientos del capítulo 2 con información sobre los tipos de
dificultades, errores y obstáculos en el estudio de las matemáticas y una
síntesis de los "Estándares para la enseñanza de las matemáticas",
elaborados por la prestigiosa sociedad
El tercer capítulo está
dedicado al estudio del currículo de matemáticas, al nivel de propuestas
curriculares básicas y de programación de unidades didácticas. Presentamos una
síntesis de las orientaciones curriculares del MEC para el área de matemáticas,
incluyendo los fines y objetivos, contenidos y evaluación, así como las
principales características de los Principios y Estándares para las matemáticas
escolares del NCTM. Esta información aportará a los maestros en formación una
visión complementaria y crítica, tanto de las orientaciones propuestas a nivel
del estado español como de las respectivas comunidades autonómicas.
Respecto del diseño y gestión
de unidades didácticas describimos los principales elementos a tener en cuenta
en la planificación, gestión y evaluación de las unidades, así como las
correspondientes adaptaciones curriculares para alumnos con necesidades
específicas.
El último capítulo incluido
en la Monografía lo dedicamos al estudio de los recursos didácticos utilizables
en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Presentamos una perspectiva
general de los recursos, incluyendo desde los libros de texto, materiales
manipulativos, gráficos y textuales, hasta los recursos tecnológicos
(calculadoras, ordenadores, internet, etc.). El maestro en formación debe
lograr una actitud propicia al uso de materiales manipulativos de toda índole,
incardinados como elementos de las situaciones didácticas, pero al mismo tiempo
es necesario que construya una actitud crítica al uso indiscriminado de tales
recursos.
Razonamos que el material
manipulativo (sea tangible o gráfico-textual) puede ser un puente entre la
realidad y los objetos matemáticos, pero es necesario adoptar precauciones para
no caer en un empirismo ciego ni en un formalismo estéril. En cuanto a las
referencias bibliográficas hemos adoptado el criterio de incluir a pié de
página las principales fuentes documentales que hemos utilizado de manera
directa. Al final de cada capítulo hemos añadido alguna bibliografía que
consideramos de interés como complemento y que son accesibles para el maestro
en formación. Cada capítulo ha sido estructurado en tres secciones. En la
primera sección, que denominamos Contextualización, proponemos una situación
inicial de reflexión y discusión colectiva sobre un aspecto del tema, En la
segunda, Desarrollo de conocimientos, presentamos las principales posiciones e
informaciones, así como una colección de actividades o tareas intercaladas en
el texto que pueden servir como situaciones introductorias a los distintos
apartados, o bien como complemento y evaluación del estudio.
La tercera sección,
Seminario didáctico, incluye una colección de "problemas de didáctica de
las matemáticas" que amplían la reflexión y el análisis de los
conocimientos propuestos en cada tema.
Esperamos que este texto,
que hemos intentado que sea a la vez riguroso y de lectura asequible, pueda
servir a los futuros maestros para aumentar su interés por las matemáticas y su
enseñanza
1. ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMÁTICAS
En la reflexión sobre las
propias concepciones hacia las matemáticas habrán surgido diversas opiniones y
creencias sobre las matemáticas, la actividad matemática y la capacidad para
aprender matemáticas. Pudiera parecer que esta discusión está muy alejada de
los intereses prácticos del profesor, interesado fundamentalmente por cómo
hacer más efectiva la enseñanza de las matemáticas (u otro tema) a sus alumnos.
La preocupación sobre qué es un cierto conocimiento, forma parte de la
epistemología o teoría del conocimiento, una de las ramas de la filosofía.
Sin embargo, las creencias
sobre la naturaleza de las matemáticas son un factor que condiciona la actuación
de los profesores en la clase, como razonamos a continuación.
Supongamos, por ejemplo, que un profesor cree
que los objetos matemáticos tienen una existencia propia (incluso aunque esta
“existencia” sea no material). Para él, objetos tales como “triángulo”, “suma”,
“fracciones”, “probabilidad”, existen, tal como lo hacen los elefantes o los
planetas. En este caso, sólo tenemos que ayudar a los niños a “descubrirlos”,
ya que son independientes de las personas que los usan y de los problemas a los
que se aplican, e incluso de la cultura.
Para este profesor, la
mejor forma de enseñar matemáticas sería la presentación de estos objetos, del
mismo modo que la mejor forma de hacer que un niño comprenda qué es un elefante
es llevarlo al zoológico, o mostrarle un vídeo sobre la vida de los elefantes.
¿Cómo podemos mostrar lo
que es un círculo u otro objeto matemático?
La mejor forma sería
enseñar sus definiciones y propiedades, esto es lo que este profesor
consideraría “saber matemáticas”. Las aplicaciones de los conceptos o la
resolución de problemas matemáticos serían secundarios para este profesor.
Éstas se tratarían después de que el alumno hubiera aprendido las matemáticas.
1. Para los siguientes
objetos matemáticos, razona si su existencia es o no independiente de la
cultura:
a) sistema de numeración;
b) unidades de medida;
c) notación algebraica.
·
Otros profesores consideran las matemáticas
como un resultado del ingenio y la actividad humana (como algo construido), al
igual que la música, o la literatura. Para ellos, las matemáticas se han
inventado, como consecuencia de la curiosidad del hombre y su necesidad de
resolver una amplia variedad de problemas, como, por ejemplo, intercambio de
objetos en el comercio, construcción, ingeniería, astronomía, etc.
Para estos profesores, el
carácter más o menos fijo que hoy día –o en una etapa histórica anterior-
tienen los objetos matemáticos, es debido a un proceso de negociación social.
Las personas que han creado estos objetos han debido ponerse de acuerdo en
cuanto a sus reglas de funcionamiento, de modo que cada nuevo objeto forma un
todo coherente con los anteriores.
Por otro lado, la historia
de las matemáticas muestra que las definiciones, propiedades y teoremas
enunciados por matemáticos famosos también son falibles y están sujetos a
evolución. De manera análoga, el aprendizaje y la enseñanza deben tener en
cuenta que es natural que los alumnos tengan dificultades y cometan errores en
su proceso de aprendizaje y que se puede aprender de los propios errores. Esta
es la posición de las teorías psicológicas constructivistas sobre el
aprendizaje de las matemáticas, las cuales se basan a su vez en la visión
filosófica sobre las matemáticas conocida como constructivismo social.
2. Busca algún episodio de
historia de las matemáticas en que se muestre cómo un concepto ha evolucionado.
1.1. Concepción idealista-platónica
Entre la gran variedad de
creencias sobre las relaciones entre las matemáticas y sus aplicaciones y sobre
el papel de éstas en la enseñanza y el aprendizaje, podemos identificar dos
concepciones extremas.
Una de estas concepciones,
que fue común entre muchos matemáticos profesionales hasta hace unos años,
considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de
las matemáticas de forma axiomática. Se supone que una vez adquirida esta base,
será fácil que el alumno por sí solo pueda resolver las aplicaciones y
problemas que se le presenten.
Según esta visión no se
puede ser capaz de aplicar las matemáticas, salvo en casos muy triviales, si no
se cuenta con un buen fundamento matemático. La matemática pura y la aplicada
serían dos disciplinas distintas; y las estructuras matemáticas abstractas
deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad. Las aplicaciones
de las matemáticas serían un "apéndice" en el estudio de las
matemáticas, de modo que no se producirían ningún perjuicio si este apéndice no
es tenido en cuenta por el estudiante. Las personas que tienen esta creencia
piensan que las matemáticas son una disciplina autónoma. Podríamos desarrollar
las matemáticas sin tener en cuenta sus aplicaciones a otras ciencias, tan solo
en base a problemas internos a las matemáticas.
Esta concepción de las
matemáticas se designa como "idealista-platónica". Con esta
concepción es sencillo construir un currículo, puesto que no hay que
preocuparse por las aplicaciones en otras áreas. Estas aplicaciones se
“filtrarían”, abstrayendo los conceptos, propiedades y teoremas matemáticos,
para constituir un dominio matemático “puro”.
3. Consulta algunos libros
de texto destinados a estudiantes de secundaria o de primeros cursos de
Universidad y escritos en los años 70 y 80. Compara con algunos libros
recientes destinados a los mismos alumnos. ¿Puedes identificar si la concepción
del autor del texto sobre las matemáticas es de tipo platónico? ¿Cómo lo
deduces?
1.2. Concepción constructivista
Otros matemáticos y
profesores de matemáticas consideran que debe haber una estrecha relación entre
las matemáticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el currículo. Piensan Perspectiva
educativa de las matemáticas que es importante mostrar a los alumnos la
necesidad de cada parte de las matemáticas antes de que les sea presentada. Los
alumnos deberían ser capaces de ver cómo cada parte de las matemáticas
satisfacen una cierta necesidad.
Ejemplo:
Poniendo a los niños en
situaciones de intercambio les creamos la necesidad de comparar, contar y
ordenar colecciones de objetos. Gradualmente se introducen los números
naturales para atender esta necesidad
En esta visión, las
aplicaciones, tanto externas como internas, deberían preceder y seguir a la
creación de las matemáticas; éstas deben aparecer como una respuesta natural y
espontánea de la mente y el genio humano a los problemas que se presentan en el
entorno físico, biológico y social en que el hombre vive. Los estudiantes deben
ver, por sí mismos, que la axiomatización, la generalización y la abstracción
de las matemáticas son necesarias con el fin de comprender los problemas de la
naturaleza y la sociedad. A las personas partidarias de esta visión de las
matemáticas y su enseñanza les gustaría poder comenzar con algunos problemas de
la naturaleza y la sociedad y construir las estructuras fundamentales de las
matemáticas a partir de ellas. De este modo se presentaría a los alumnos la
estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones. La elaboración de
un currículo de acuerdo con la concepción constructivista es compleja, porque,
además de conocimientos matemáticos, requiere conocimientos sobre otros campos.
Las estructuras de las ciencias físicas, biológicas, sociales son relativamente
más complejas que las matemáticas y no siempre hay un isomorfismo con las
estructuras puramente matemáticas. Hay una abundancia de material disperso
sobre aplicaciones de las matemáticas en otras áreas, pero la tarea de
selección, secuenciación e integración no es sencilla.
4. ¿Por qué son necesarios
los conceptos de longitud y área?
¿Qué tipo de problemas
resuelven?
¿Qué otros conceptos, operaciones y
propiedades se les asocian?
2. MATEMÁTICAS Y SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el
tipo de matemáticas que queremos enseñar y la forma de llevar a cabo esta
enseñanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta enseñanza:
·
Que los alumnos lleguen a
comprender y a apreciar el papel de las matemáticas en la sociedad, incluyendo
sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las matemáticas han
contribuido a su desarrollo.
·
Que los alumnos lleguen a
comprender y a valorar el método matemático, esto es, la clase de preguntas que
un uso inteligente de las matemáticas permite responder, las formas básicas de
razonamiento y del trabajo matemático, así como su potencia y limitaciones.
2.1. ¿Cómo surgen las
matemáticas? Algunas notas históricas
La perspectiva histórica
muestra claramente que las matemáticas son un conjunto de conocimientos en
evolución continua y que en dicha evolución desempeña a menudo un papel de
primer orden la necesidad de resolver determinados problemas prácticos (o
internos a las propias matemáticas) y su interrelación con otros conocimientos.
Ejemplo:
Los orígenes de la estadística
son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas de recogida de datos sobre
población, bienes y producción en las civilizaciones china (aproximadamente
1000 años a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el libro de
Números aparecen referencias
al recuento de los israelitas en edad de servicio militar. No olvidemos que
precisamente fue un censo, según el Evangelio, lo que motivó el viaje de José y
María a Belén. Los censos propiamente dichos eran ya una institución en el
siglo IV a.C. en el imperio romano. Sin embargo, sólo muy recientemente la
estadística ha adquirido la categoría de ciencia. En el siglo XVII surge la
aritmética política, desde la escuela alemana de Conring. Posteriormente su
discípulo Achenwall orienta su trabajo a larecogida y análisis de datos
numéricos, con fines específicos y en base a los cuales se hacen estimaciones y
conjeturas, es decir se observan ya los elementos básicos del método
estadístico. La estadística no es una excepción y, al igual que ella, otras
ramas de las matemáticas se han desarrollado como respuesta a problemas de
índole diversa:
·
Muchos aspectos de la
geometría responden en sus orígenes históricos, a la necesidad de resolver
problemas de agricultura y de arquitectura.
·
Los diferentes sistemas de
numeración evolucionan paralelamente a la necesidad de buscar notaciones que
permitan agilizar los cálculos aritméticos.
·
La teoría de la
probabilidad se desarrolla para resolver algunos de los problemas que plantean
los juegos de azar. Las matemáticas constituyen el armazón sobre el que se
construyen los modelos científicos, toman parte en el proceso de modelización
de la realidad, y en muchas ocasiones han servido como medio de validación de
estos modelos. Por ejemplo, han sido cálculos matemáticos los que permitieron,
mucho antes de que pudiesen ser observados, el descubrimiento de la existencia
de los últimos planetas de nuestro sistema solar.
Sin embargo, la evolución
de las matemáticas no sólo se ha producido por acumulación de conocimientos o
de campos de aplicación. Los propios conceptos matemáticos han ido modificando
su significado con el transcurso del tiempo, ampliándolo, precisándolo o
revisándolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo relegados a
segundo plano.
Ejemplos
El cálculo de probabilidades se ha
transformado notablemente, una vez que se incorporaron conceptos de la teoría
de conjuntos en la axiomática propuesta por Kolmogorov. Este nuevo enfoque
permitió aplicar el análisis matemático a la probabilidad, con el consiguiente
avance de la teoría y sus aplicaciones en el último siglo.
El cálculo manual de logaritmos y funciones
circulares (senos, cosenos, etc.) fue objeto de enseñanza durante muchos años y
los escolares dedicaron muchas horas al aprendizaje de algoritmos relacionados
con su uso. Hoy las calculadoras y ordenadores producen directamente los
valores de estas funciones y el cálculo manual ha desaparecido. El mismo
proceso parece seguir actualmente el cálculo de raíces cuadradas. Perspectiva
educativa de las matemáticas
2.2. Papel de las matemáticas en la ciencia y
tecnología
Las aplicaciones
matemáticas tienen una fuerte presencia en nuestro entorno. Si queremos que el
alumno valore su papel, es importante que los ejemplos y situaciones que
mostramos en la clase hagan ver, de la forma más completa posible, el amplio
campo de fenómenos que las matemáticas permiten organizar.
2.2.1. Nuestro mundo biológico
Dentro del campo biológico,
puede hacerse notar al alumno que muchas de las características heredadas en el
nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de pelo, peso al nacer,
etc. Algunos rasgos como la estatura, número de pulsaciones por minuto,
recuento de hematíes, etc., dependen incluso del momento en que son medidas. La
probabilidad permite describir estas características. En medicina se realizan
estudios epidemiológicos de tipo estadístico. Es necesario cuantificar el
estado de un paciente (temperatura, pulsaciones, etc.) y seguir su evolución,
mediante tablas y gráficos, comparándola con los valores promedios en un sujeto
sano. El modo en que se determina el recuento de glóbulos rojos a partir de una
muestra de sangre es un ejemplo de situaciones basadas en el razonamiento
proporcional, así como en la idea de muestreo. Cuando se hacen predicciones
sobre la evolución de la población mundial o sobre la posibilidad de extinción
de las ballenas, se están usado modelos matemáticos de crecimiento de
poblaciones, de igual forma que cuando se hacen estimaciones de la individuo.
Las formas de la naturaleza nos ofrecen ejemplos de muchos conceptos
geométricos, abstraídos con frecuencia de la observación de los mismos.
El crecimiento de los
alumnos permite plantear actividades de medida y ayudar a los alumnos a
diferenciar progresivamente las diferentes magnitudes y a estimar cantidades de
las mismas: peso, longitud, etc.
2.2.2. El mundo físico
Además del contexto
biológico del propio individuo, nos hallamos inmersos en un medio físico. Una
necesidad de primer orden es la medida de magnitudes como la temperatura, la
velocidad, etc. Por otra pare, las construcciones que nos rodean (edificios,
carreteras, plazas, puentes) proporcionan la oportunidad de analizar formas
geométricas; su desarrollo ha precisado de cálculos geométricos y estadísticos,
uso de funciones y actividades de medición y estimación (longitudes,
superficies, volúmenes, tiempos de transporte, de construcción, costes, etc.)
¿Qué mejor fuente de
ejemplos sobre fenómenos aleatorios que los meteorológicos?.
La duración, intensidad,
extensión de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas máximas y
mínimas, la intensidad y dirección del viento son variables aleatorias. También
lo son las posibles consecuencias de estos fenómenos: el volumen de agua en un
pantano, la magnitud de daños de una riada o granizo son ejemplos en los que se
presenta la ocasión del estudio de la estadística y probabilidad.
2.2.3. El mundo social
El hombre no vive aislado:
vivimos en sociedad; la familia, la escuela, el trabajo, el ocio llenos de
situaciones matemáticas. Podemos cuantificar el número de hijos de la familia,
la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias
o aficiones de los miembros varían de una familia a otra, todo ello puede dar
lugar a estudios numéricos o estadísticos.
Para desplazarnos de casa a
la escuela, o para ir de vacaciones, dependemos del transporte público. Podemos
estimar el tiempo o la distancia o el número de viajeros que usarán el autobús.
En nuestros ratos de ocio
practicamos juegos de azar tales como quinielas o loterías. Acudimos a
encuentros deportivos cuyos resultados son inciertos y en los que tendremos que
hacer cola para conseguir las entradas. Cuando hacemos una póliza de seguros no
sabemos si la cobraremos o por el contrario perderemos el dinero pagado; cuando
compramos acciones en bolsa estamos expuestos a la variación en las
cotizaciones La estadística y probabilidad se revela como herramienta esencial
en estos contextos.
2.2.4. El mundo político
El Gobierno, tanto a nivel
local como nacional o de organismos internacionales, necesita tomar múltiples
decisiones y para ello necesita información. Por este motivo la administración
precisa de la elaboración de censos y encuestas diversas. Desde los resultados
electorales hasta los censos de población hay muchas estadísticas cuyos
resultados afectan las decisiones de gobierno.
Los índices de precios al
consumo, las tasas de población activa, emigración -inmigración, estadísticas
demográficas, producción de los distintos bienes, comercio, etc., de las que diariamente
escuchamos sus valores en las noticias, proporcionan ejemplo de razones y
proporciones.
2.2.5 El mundo económico
La contabilidad nacional y
de las empresas, el control y previsión de procesos de producción de bienes y
servicios de todo tipo no serían posibles sin el empleo de métodos y modelos
matemáticos.
En la compleja economía en
la que vivimos son indispensables unos conocimientos mínimos de matemáticas
financieras. Abrir una cuenta corriente, suscribir un plan de pensiones,
obtener un préstamo hipotecario, etc. son ejemplos de operaciones que necesitan
este tipo de matemáticas.
2.3. Matemáticas en la vida cotidiana. Cultura
matemática
Uno de los fines de la
educación es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de cultura es cambiante
y se amplía cada vez más en la sociedad moderna. Cada vez más se reconoce el
papel cultural de las matemáticas y la educación matemática también tiene como
fin proporcionar esta cultura. El objetivo principal no es convertir a los
futuros en “matemáticos aficionados”, tampoco se trata de capacitarlos en
cálculos complejos, puesto que los ordenadores hoy día resuelven este problema.
Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes
interrelacionados:
a) Capacidad para
interpretar y evaluar críticamente la información matemática y los argumentos
apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos,
incluyendo los medios de comunicación, o en su trabajo profesional.
b) Capacidad para discutir
o comunicar información matemática, cuando sea relevante, y competencia para
resolver los problemas matemáticos que encuentre en la vida diaria o en el
trabajo profesional.
Perspectiva educativa de
las matemáticas
5. Las siguientes
informaciones han sido tomadas de un mapa, una estación de tren y de la prensa.
Indica para cada uno de ellas los conocimientos matemáticos necesarios para una
lectura comprensiva
a) Se quiere calcular la
distancia real entre Valencia y Casablanca con este mapa
b) En la estación de
Granada se anuncia el siguiente horario:
Origen Hora de salida
Destino Hora de llegada Tipo de tren
3. RASGOS CARACTERÍSTICOS DE LAS MATEMÁTICAS
El Diseño Curricular Base
(DCB) para la Educación Primaria (MEC, 1989) ofrece una visión
constructivista-social de las matemáticas. En este apartado incluimos un
resumen de este documento, que en conjunto permite apreciar los rasgos
característicos de esta visión de las matemáticas.
6. Contrasta tu propia
manera de interpretar el conocimiento matemático con la perspectiva sugerida en
los siguientes párrafos.
¿Qué implicaciones suponen
para la forma de organizar la clase de matemáticas?
3.1. Modelización y resolución de problemas
El dar un papel primordial
a la resolución de problemas y a la actividad de modelización tiene importantes
repercusiones desde el punto de vista educativo. Sería cuanto menos
contradictorio con la génesis histórica de las matemáticas, al igual que con
sus aplicaciones actuales, presentar las matemáticas a los alumnos como algo
cerrado, completo y alejado de la realidad. Debe tenerse en cuenta, por una
parte, que determinados conocimientos matemáticos permiten modelizar y resolver
problemas de otros campos y por otra, que a menudo estos problemas no
estrictamente matemáticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la
que se elaboran nuevos conocimientos matemáticos.
7. En el siguiente
problema,
¿Cuál es el conocimiento
matemático que permite resolverlo?
¿Qué significado intuitivo
permite construir sobre dicho conocimiento?
Inventa otros problemas sencillos que permitan
construir un significado diferenciado para el conocimiento en cuestión. Problema.
Unos niños llevan a clase caramelos.
8. ¿Qué contenidos
matemáticos serían útiles para resolver los siguientes tipos de problemas:
·
Construir a escala la
maqueta de un edificio
·
Determinar en forma
aproximada la altura de una torre, desde el suelo
·
Calcular el número de
lentejas en un paquete de kilo, sin contarlas todas
Desde el punto de vista de
la enseñanza de las matemáticas, las reflexiones anteriores
deben concretarse a la edad
y conocimientos de los alumnos. No podemos proponer los mismos problemas a un
matemático, a un adulto, a un adolescente o a un niño, porque sus necesidades
son diferentes. Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su
propia percepción del entorno físico y social y componentes imaginadas y lúdicas
que despiertan su interés en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales
que interesan al adulto.
En consecuencia, la
activación del conocimiento matemático mediante la resolución
de problemas reales no se
consigue trasvasando de forma mecánica situaciones "reales",
aunque sean muy pertinentes
y significativas para el adulto, ya que éstas pueden no
interesar a los alumnos.
3.2. Razonamiento matemático
Razonamiento
empírico-inductivo
El proceso histórico de
construcción de las matemáticas nos muestra la importancia
del razonamiento
empírico-inductivo que, en muchos casos, desempeña un papel mucho más activo en
la elaboración de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo.
Esta afirmación describe
también la forma en que trabajan los matemáticos, quienes
no formulan un teorema “a
la primera”. Los tanteos previos, los ejemplos y contraejemplos, la solución de
un caso particular, la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver
qué sucede, etc., son las auténticas pistas para elaborar proposiciones y
teorías. Esta fase intuitiva es la que convence íntimamente al matemático de
que el proceso de construcción del conocimiento va por buen camino. La deducción
formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior.
Esta constatación se opone
frontalmente a la tendencia, fácilmente observable en
algunas propuestas
curriculares, a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano, tendencia que priva
a los alumnos del más poderoso instrumento de exploración
y construcción del
conocimiento matemático.
9. Al disponer puntos en el
plano en forma cuadrangular y contar el número total de éstos en
cada uno de los cuadrados,
obtenemos los llamados "números cuadrados": 1, 4, 9, 16, ...
* * * * * *
* * * * *
* * *
a) ¿Podrías escribir los
primeros 10 números cuadrados?
b) Llamaremos Cn al número
cuadrado cuya base está formada por n puntos ¿Puedes
encontrar una expresión
general para Cn ?
c) ¿Puedes dar algún tipo
de razonamiento que la justifique?
10. Repite el proceso para
los "números triangulares":
* * * *
** ** **
*** ***
****
11. Analiza el papel del
razonamiento empírico-inductivo y deductivo en la resolución de los problemas anteriores
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Formalización y abstracción
Desde una perspectiva
pedagógica -y también epistemológica-, es importante
diferenciar el proceso de
construcción del conocimiento matemático de las características de dicho
conocimiento en un estado avanzado de elaboración. La formalización, precisión
y ausencia de ambigüedad del conocimiento matemático debe ser la fase final de
un largo proceso de aproximación a la realidad, de construcción de instrumentos
intelectuales eficaces para conocerla, analizarla y transformarla.
Ciertamente, como ciencia
constituida, las matemáticas se caracterizan por su
precisión, por su carácter
formal y abstracto, por su naturaleza deductiva y por su organización a menudo
axiomática. Sin embargo, tanto en la génesis histórica como en su apropiación
individual por los alumnos, la construcción del conocimiento matemático es
inseparable de la actividad concreta sobre los objetos, de la intuición y de
las aproximaciones inductivas activadas por la realización de tareas y la
resolución de problemas particulares. La experiencia y comprensión de las
nociones, propiedades y relaciones matemáticas a partir de la actividad real
es, al mismo tiempo, un paso previo a la formalización y una condición
necesaria para interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades que
encierra dicha formalización.
3.3. Lenguaje y
comunicación
Las matemáticas, como el resto de las disciplinas
científicas, aglutinan un conjunto
de conocimientos con unas características propias y
una determinada estructura y
organización internas. Lo que confiere un carácter
distintivo al conocimiento
matemático es su enorme poder como instrumento de
comunicación, conciso y sin
ambigüedades. Gracias a la amplia utilización de
diferentes sistemas de notación
simbólica (números, letras, tablas, gráficos, etc.),
las matemáticas son útiles para
representar de forma precisa informaciones de
naturaleza muy diversa, poniendo de
relieve algunos aspectos y relaciones no directamente
observables y permitiendo
anticipar y predecir hechos situaciones o resultados
que todavía no se han producido.
Ejemplo:
Un número par se puede
escribir como 2n. Esta expresión es equivalente a (n+1)+(n-1). Pero esta última
expresión nos da una nueva información ya que muestra que todo número par es la
suma de dos impares consecutivos
Sería sin embargo erróneo,
o al menos superficial, suponer que esta capacidad del
conocimiento matemático
para representar, explicar y predecir hechos, situaciones y
resultados es simplemente
una consecuencia de la utilización de notaciones simbólicas precisas e
inequívocas en cuanto a las informaciones que permiten representar. En
realidad, si las notaciones simbólicas pueden llegar a desempeñar efectivamente
estos papeles es debido a la propia naturaleza del conocimiento matemático que
está en su base y al que sirven de soporte.
12. Analiza una página de
un libro de matemáticas de primaria. Identifica los
diferentes medios de
expresión en el texto (términos, símbolos, gráficas, diagramas).
Localiza los conceptos
implícitos y explícitos a que hacen referencias. ¿Cómo se
representan los diferentes
conceptos?
16. ¿Cómo podemos comunicar
las matemáticas a alumnos ciegos? ¿Piensas que
pueden tener dificultades
especiales con alguna parte de las matemáticas debido a su carencia?
4. CONTENIDOS MATEMÁTICOS: CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS Y
ACTITUDES
En el Diseño Curricular
Base (MEC, 1989) se entiende por contenido escolar tanto
los que habitualmente se
han considerado contenidos, los de tipo conceptual, como
otros que han estado más
ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos importantes:
contenidos relativos a procedimientos, y a normas, valores y actitudes. En
la escuela los alumnos
aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos. Todo
contenido que se aprende es
también susceptible de ser enseñado, y se considera tan
necesario planificar la
intervención con respecto a los contenidos de tipo conceptual
como planificarla con relación
a los otros tipos de contenido.
En los bloques del Diseño
Curricular Base se señalan en tres apartados distintos los
tres tipos de contenido. El
primero de ellos es el que presenta los conceptos, hechos y
principios. Los hechos y
conceptos han estado siempre presentes en los programas
escolares, no tanto los
principios. Por principios se entiende enunciados que describen
cómo los cambios que se
producen en un objeto o situación se relacionan con los
cambios que se producen en
otro objeto o situación.
El segundo tipo de
contenido es el que se refiere a los procedimientos. Un
procedimiento es un
conjunto de acciones ordenadas, orientadas a la consecución de una meta. Se
puede hablar de procedimientos mas o menos generales en función del número de
acciones o pasos implicados en su realización, de la estabilidad en el orden de
estos pasos y del tipo de meta al que van dirigidos. En los contenidos de
procedimientos se indican contenidos que también caben bajo la denominación de
"destrezas’’, técnicas’’ o “estrategias’’, ya que todos estos términos
aluden a las características señaladas como definitorias de un procedimiento.
Sin embargo, pueden diferenciarse en algunos casos en este apartado contenidos
que se refieren a procedimientos o destrezas más generales que exigen para su
aprendizaje otras técnicas más específicas, relacionadas con contenidos
concretos.
16. La suma de números
naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar).
Explica cómo se apoyan entre sí el aprendizaje del
procedimiento y del
concepto en este caso particular.
17. Formula dos objetivos
conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de
números naturales.
El último apartado, que
aparece en todos los bloques de contenido, es el que se refiere a los valores,
normas y actitudes. La pertinencia o no de incluir este tipo de contenido en el
Diseño Curricular puede suscitar alguna duda. Hay personas que
consideran que puede ser
peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes
para todos los alumnos. Desde
esta propuesta curricular se pretende, en cambio, que los
profesores programen y
trabajen estos contenidos tanto como los demás ya que, de
hecho, los alumnos aprenden
valores, normas y actitudes en la escuela. La única
diferencia, que se
considera en esta propuesta una ventaja, es que ese aprendizaje no se producirá
de una manera no planificada, formando parte del currículo oculto, sino que la escuela
intervendrá intencionalmente favoreciendo las situaciones de enseñanza que aseguraran
el desarrollo de los valores, normas y actitudes que, a partir de las cuatro fuentes
del currículo, pero especialmente de la fuente sociológica, se consideren
oportunas.
18. ¿Cómo crees que se
forman las actitudes negativas hacia las matemáticas? ¿Cómo
se ponen de manifiesto?
La distinción entre
contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales es, en
primer lugar y sobre todo,
de naturaleza pedagógica. Es decir, llama la atención sobre la conveniencia de
adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los
contenidos seleccionados.
Esta es la razón por la cual, en ocasiones, un mismo
contenido aparece repetido
en las tres categorías: la repetición en este caso traduce la
idea pedagógica de que el
contenido en cuestión debe ser abordado convergentemente desde una perspectiva
conceptual, procedimental y actitudinal. En otras ocasiones, sin embargo, un
determinado contenido aparece únicamente en una u otra de las tres categorías,
con ello se sugiere que dicho contenido, por su naturaleza y por la intención educativa
propia de la etapa, debe ser abordado con un enfoque prioritariamente conceptual,
procedimental o actitudinal.
Estos tres tipos de
contenido son igualmente importantes ya que todos ellos
colaboran en igual medida a
la adquisición de las capacidades señaladas en los objetivos generales del
área. El orden de presentación de los apartados referidos a los tres tipos de contenido
no supone ningún tipo de prioridad entre ellos. Los diferentes tipos de contenido
no deben trabajarse por separado en las actividades de enseñanza y aprendizaje.
No tiene sentido programar actividades de enseñanza y aprendizaje ni de
evaluación distintas para
cada uno de ellos, ya que será el trabajo conjunto lo que
permitirá desarrollar las
capacidades de los objetivos generales. Sólo en circunstancias
excepcionales, cuando así
lo aconsejen las características de los alumnos o alguno de los elementos que
intervienen en la definición del Proyecto Curricular, puede ser
aconsejable enfocar de
manera específica el trabajo sobre uno u otro tipo de contenido.
5. UN MODELO DE ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA
La descripción de los
contenidos matemáticos en el Diseño Curricular Base puede
ser adecuada para una
planificación global del currículo, pero consideramos que es
insuficiente para describir
la actividad de estudio de las matemáticas.
Por ejemplo, para el bloque
temático de "Números y operaciones", los contenidos
conceptuales (designados
como conceptos) que se mencionan son:
1. Números naturales,
fraccionarios y decimales:
2. Sistema de Numeración
Decimal:
3. Las operaciones de suma,
resta, multiplicación y división:
4. Reglas de uso de la
calculadora
Y como procedimientos se
mencionan, entre otros,
1. Utilización de
diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
2. Explicación oral del
proceso seguido en la realización de cálculos y en la
resolución de problemas
numéricos.
Este listado de
"conceptos y procedimientos" matemáticos es insuficiente para
planificar y gestionar el
proceso de enseñanza y aprendizaje de los "números y
operaciones" en los
distintos niveles de educación primaria. Para poder identificar las
dificultades que los
alumnos tienen en el estudio de las matemáticas necesitamos reflexionar sobre
los tipos de objetos que se ponen en juego en la actividad matemática
y las relaciones que se
establecen entre los mismos. Ejemplificamos a continuación el
modelo de análisis que
proponemos para el caso del estudio de la suma y resta en un
libro de texto.
IV.-
ORGANIZADORES:
V.-APRECIACIÓN
CRÍTICA:
Ø La descripción de los contenidos matemáticos en el
Diseño Curricular Base puede ser adecuada para una planificación global del
currículo, pero considero que es insuficiente para describir la actividad de
estudio de las matemáticas.
Ø El dar un papel primordial a la resolución de
problemas y a la actividad de modelización tiene importantes repercusiones desde
el punto de vista educativo.
Ø Si queremos que el alumno valore su papel, es
importante que los ejemplos y situaciones que mostramos en la clase hagan ver,
de la forma más completa posible, el amplio campo de fenómenos que las
matemáticas permiten organizar.
VI.-
CONCLUSIONES:
Ø Pienso que los alumnos deberían ser capaces de ver
cómo cada parte de las matemáticas satisfacen una cierta necesidad.
Ø Fundamentalmente la capacidad para interpretar y
evaluar críticamente la información matemática y los argumentos apoyados en
datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los
medios de comunicación, o en su trabajo profesional.
Ø Es importante la Capacidad para discutir o comunicar
información matemática, cuando sea relevante, y competencia para resolver los
problemas matemáticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo
profesional.
Ø El Diseño Curricular Base debería presentar para la
educación primaria (MEC, 1989) ofrece una visión constructivista-social de las
matemáticas.
VII.-REFERENCIA
BIBLIOGRÁFICA:
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